Евклидова геометрия – это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые введенная в третьем веке до нашей эры. Великим древнегреческим математиком Евклидом. В его великолепном научном труде “Элементы”.
Система аксиом Евклида основана на основных геометрических понятиях. Таких как точка, прямая, плоскость, движение. А также на следующих соотношениях: “точка лежит на прямой в плоскости”, “точка лежит между двумя другими точками”.
В “Началах” Евклид ввел следующую аксиоматику:
- Из каждой точки в каждую точку можно провести прямую линию.
- Окружная линия может продолжаться непрерывно вдоль прямой линии.
- Из каждого центра каждым решением можно описать окружность.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если при пересечении двух прямых внутренние односторонние углы меньше двух прямых, то две прямые, которые продолжаются беспредельно, пересекаются с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Интерпретации аксиом
Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине 19 века показало ее неполноту. В 1899 году Д. Гильберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии ученые пытались усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гильберта, известны следующие аксиоматики: аксиоматика Тарского и аксиоматика Биргофа, состоящая всего из 4 аксиом.
В современной интерпретации система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:
- Аксиомы комбинирования. Во-первых, прямая может проходить через любые две точки и только через одну из них. Во-вторых, на каждой прямой есть как минимум две точки. Однако есть по крайней мере три точки, которые не лежат на одной прямой. В-третьих, для каждых трех точек, не лежащих на одной прямой, может существовать плоскость, и только одна. В-четвертых, для каждой плоскости существует не менее трех точек и не менее четырех точек, которые не лежат в одной плоскости. В-пятых, если две точки данной прямой лежат в данной плоскости, то и сама прямая лежит в этой плоскости. В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то они также имеют общую прямую.
- Аксиомы порядка. Во-первых, если B находится между A и C, то все три принадлежат одной линии. Во-вторых, для каждой точки A и B существует точка C такая, что B лежит между A и C. В-третьих, только одна из трех точек прямой лежит между двумя другими. В-четвертых, если прямая пересекает сторону треугольника, то она также пересекает другую сторону треугольника или проходит через его вершину (AB определяется как множество точек, лежащих между A и B; стороны треугольника определяются аналогично).
- Аксиомы движения. Во-первых, движение соединяет точки с точками, прямые с прямыми и плоскости с плоскостями, сохраняя при этом принадлежность точек к прямым и плоскостям. Во-вторых, два последовательных движения снова вызывают движение, и каждому движению соответствует обратное движение. В-третьих, если данные точки A, A’ и полупрямые A, A’ ограничены вытянутыми полупрямыми a, a’, исходящими из точек A, A’. То существует единственное движение, превращающее A, a, A в A’, a’, A’ (полупрямые и полупрямые легко определяются с помощью понятий комбинации и порядка).
- Аксиомы непрерывности. Во-первых, согласно аксиоме Архимеда, любой отрезок прямой может быть помещен на любой отрезок прямой. Так, что он окажется на первом отрезке достаточное количество раз (отрезок прямой находится в движении). Во-вторых, по аксиоме Кантора: если заданная последовательность отрезков вложена друг в друга, то все они имеют хотя бы одну общую точку.
- Аксиома параллельности: существует только одна прямая, не пересекающая точку a вне точки a в плоскости, проходящей через точки a и a.
Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения визуального восприятия человеком окружающей среды. Более глубокое понимание природы геометрии привело к более абстрактному пониманию этой науки. Более поздние достижения и открытия показали, что наши представления о пространстве являются априорными. То есть чисто умозрительными.
Здесь предлагаем рассмотреть свойства некоторых фигур на примере треугольника и пятиугольника на сфере и псевдосфере
